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∫x²Cos²x/2Dx的不定积分,要过程

显然 cos²x/2=0.5cosx+0.5 所以得到 ∫cos²x/2 dx = ∫0.5cosx+0.5 dx = 0.5sinx +0.5x +C,C为常数

令x=sint,t∈[-π/2,π/2] 则 √(1-x²)=√(1-1sin²t)=cost,dx=costdt ∫1/[x√(1-x²)] dx = ∫cost/(sintcost) dt =∫csctdt =ln|csct-cott|+C =ln|[2-√(1-x²)]/x|+C C为任意常数

∫x²/(x²+2)dx =∫(x²+2-2)/(x²+2)dx =∫[1-2/(x²+2)]dx =x-∫2/(x²+2)dx =x-√2·arctan(x/√2)+C

令x=5tant, 那么x²+25=25(tan²t+1)=25/cos²t 所以得到(x²+25)^(-3/2)=(cost)^3 /125 于是 原积分=∫ (cost)^3 /125 d(5tant) =∫ (cost)^3 /125 *5/cos²t dt =∫ cost /25 dt =sint /25 +C, tant=x/5,那么得到 cost= 1...

∫ x²/(4 + x²) dx = ∫ [(4 + x²) - 4]/(4 + x²) dx = ∫ dx - 4∫ 1/(4 + x²) dx =x - ∫ 1/(1 + x²/4) dx =x - 2 *∫ 1/[1 + (x/2)²] d(x/2) ,由基本积分公式∫1/(1+t²)dt=arctant+C可以知道 = x - 2arcta...

原式=∫x/√(1-x²)dx +∫arcsinx/√(1-x²) dx =-√(1-x²)+∫arcsinxdarcsinx =-√(1-x²)+1/2(arcsinx)²+c

I = ∫e^x(sinx)^2dx = (1/2)∫e^x(1-cos2x)dx = (1/2)e^x - (1/2)∫e^xcos2xdx 其中 J = ∫e^xcos2xdx = ∫cos2xde^x = e^xcos2x + 2∫sin2xe^xdx = e^xcos2x + 2e^xsin2x - 2∫cos2xe^xdx = e^x(cos2x + 2sin2x) - 2J, 则 J = (1/3)e^x(cos2x + 2sin2...

分部积分法,凑微分 过程如下图:

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